이웃하는 분수의 분자, 분모의 관계를 이용하여 규칙을 찾는다.

3.OA.D.93.NF.A.1 · take · 학년 3

아키타입: Generalize a Growing Pattern into a Rule · 12단계 진행 중

다음과 같은 규칙으로 분수를 늘어놓을 때, 41번째에 놓일 분수를 구하시오.

$\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$

풀이 보기

이해

분수를 규칙에 따라 늘어놓습니다. 먼저 분모가 2인 분수, 다음에 분모가 3인 분수, 그다음 4, 이렇게 늘어놓고, 각 묶음 안에서 분자는 1부터 분모보다 1 작은 수까지 올라갑니다. 41번째에 놓일 분수를 구해야 합니다.

주어진 것

늘어놓은 분수는 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \cdots$ 입니다.
분모가 $(k+1)$ 인 묶음에는 분수가 $k$ 개 있고, 분자는 $1, 2, \cdots, k$ 입니다.
41번째 분수를 구하려고 합니다.

구할 것

41번째 자리에 놓일 분수.

조건

한 묶음 안에서는 분모가 고정되고 분자는 1부터 분모보다 1 작은 수까지 올라갑니다.
묶음은 분모가 커지는 순서로 나타납니다.

계획

#5 패턴 찾기 · 함께 쓰는 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

분수가 분모별로 묶여 있고, 분모가 $(k+1)$ 인 묶음은 $k$ 개를 차지합니다. 이 묶음 크기를 차례로 더해 가면( $1+2+3+\cdots$ ) 41번째가 어느 묶음에 들어가는지 알 수 있고, 그 묶음 안에서 세어 봅니다.

실행

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9

분모 2인 묶음에는 분수가 1개, 분모 3에는 2개, 분모 4에는 3개, 일반적으로 분모

d

인 묶음에는

d-1

개가 있습니다. 누적 합은

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45

입니다.

1,\ 1{+}2{=}3,\ {+}3{=}6,\ {+}4{=}10,\ {+}5{=}15,\ {+}6{=}21,\ {+}7{=}28,\ {+}8{=}36,\ {+}9{=}45

분모가 하나 커질 때마다 앞 묶음보다 분수가 한 개씩 더 늘어나는 분명한 패턴입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.D.9

분모 9까지 더하면 합이 36개입니다(1번째부터 36번째까지). 그다음 묶음은 분모 10(분수 9개, 37번째부터 45번째까지)입니다. 그래서 41번째는 분모 10인 묶음에 있습니다.

36 < 41 \le 45 \Rightarrow \text{분모 } 10

누적 합을 이용하면 멀리 떨어진 41번째 항을 '어느 짧은 묶음에 있는가'로 줄일 수 있습니다.

#5 패턴 찾기 3.NF.A.1

41번째는 분모 10인 묶음에서

(41 - 36) = 5

번째 분수이고, 이 묶음의 분자는

1, 2, 3, \cdots

으로 올라갑니다. 그래서 분자는 5입니다.

41 - 36 = 5 \Rightarrow \frac{5}{10}

묶음 안에서 분자는 그 자리 번호와 같으므로, 5번째 항의 분자는 5입니다.

답: 5/10

검토

37번째부터 45번째까지는 $\frac{1}{10}$ 부터 $\frac{9}{10}$ 까지입니다. 41번째는 그중 5번째이므로 $\frac{5}{10}$ 입니다. 이는 분자가 올라가고 분모가 10으로 고정되는 패턴과 맞습니다. 분자 5는 그 묶음에서 필요한 대로 1과 9 사이에 있습니다.

빠짐없이 나열하기(도구 2): 37번째부터 $\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}, \frac{5}{10}$ 로 묶음을 계속 적어 가면, 5번째가 41번째 자리에 놓여 $\frac{5}{10}$ 임이 확인됩니다.

기준 · 최소 학년 3

3.OA.D.9 Identify arithmetic patterns and explain using properties of operations — 묶음 크기가 1씩 커진다는 것을 찾고 누적 합으로 41번째 자리를 찾는 데 활용
3.NF.A.1 Understand a fraction as quantity formed by parts of a whole — 찾아낸 분수의 분자와 분모를 읽어 내는 데 활용

💡 3학년 패턴 감각만 있으면 충분해요. 묶음 크기를 41에 닿을 때까지 더한 다음, 그 묶음 안에서 세면 돼요!