원의 중심을 이어 만든 도형의 변은 반지름의 합이다.

3.MD.D.83.G.A.1 · adapt · 학년 3

아키타입: Radius and Diameter Relationships · 11단계 진행 중

오른쪽 그림은 크기가 서로 다른 네 원을 차례로 맞닿게 그린 다음, 각 원의 중심을 이어 사각형 ㄱㄴㄷㄹ을 만든 것입니다. 사각형 ㄱㄴㄷㄹ의 둘레가 $60\ \text{cm}$ 일 때 네 원의 반지름의 합은 몇 cm입니까?

풀이 보기

이해

크기가 서로 다른 네 원이 고리처럼 차례로 맞닿아 있습니다. 각 원의 중심을 이으면 사각형 ㄱㄴㄷㄹ이 됩니다. 각 변은 맞닿은 두 원을 잇고 있으므로, 변의 길이는 그 두 원의 반지름의 합과 같습니다. 사각형의 둘레는 $60\text{ cm}$ 이고, 네 원의 반지름의 합을 구해야 합니다.

주어진 것

크기가 다른 네 원이 고리처럼 차례로 맞닿아 있고, 이웃한 원끼리 맞닿습니다.
중심을 이으면 사각형 ㄱㄴㄷㄹ이 됩니다.
각 변은 그 변을 이루는 맞닿은 두 원의 반지름의 합과 같습니다.
사각형 ㄱㄴㄷㄹ의 둘레는 $60\text{ cm}$ 입니다.

구할 것

네 원의 반지름의 합(cm).

조건

두 원이 바깥쪽에서 맞닿으면 두 중심 사이의 거리는 두 반지름의 합과 같습니다.
각 원은 두 이웃과 맞닿으므로, 모든 반지름은 정확히 두 변에서 한 번씩 세어집니다.

계획

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기

각 변을 반지름의 합으로 나타낸 다음 네 변을 모두 더합니다. 합을 들여다보면 각 반지름이 정확히 두 번씩 나타나, 둘레가 반지름 합의 2배가 됩니다. 미지의 반지름을 따로따로 다루는 것보다 훨씬 간단한 관계입니다.

실행

#1 그림 그리기 3.G.A.1

맞닿은 두 원은 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같습니다. 그래서 ㄱㄴ = r_ㄱ + r_ㄴ, ㄴㄷ = r_ㄴ + r_ㄷ, ㄷㄹ = r_ㄷ + r_ㄹ, ㄹㄱ = r_ㄹ + r_ㄱ 입니다.

ㄱㄴ+ㄴㄷ+ㄷㄹ+ㄹㄱ = (r_ㄱ+r_ㄴ)+(r_ㄴ+r_ㄷ)+(r_ㄷ+r_ㄹ)+(r_ㄹ+r_ㄱ)

그림을 보면 각 변이 맞닿은 두 원을 잇고 있어서, 변은 두 반지름을 끝과 끝으로 이어 놓은 것임을 알 수 있습니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.D.9

네 변을 모두 더하면 각 원의 반지름이 정확히 두 번씩 나타납니다. 각 원이 두 이웃과 맞닿기 때문입니다. 그래서 둘레는 네 반지름 합의 2배와 같습니다.

60 = 2 \times (r_ㄱ+r_ㄴ+r_ㄷ+r_ㄹ)

'반지름마다 두 번씩'이라는 반복되는 패턴을 알아채면 큰 합이 단순한 2배 관계로 줄어듭니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.A.2

둘레가 반지름 합의 2배이므로,

60

을 2로 나누면 반지름의 합이 됩니다.

60 \div 2 = 30

2배를 되돌리는 것은 2로 나누는 것일 뿐이며, 이는 3학년의 기본 나눗셈입니다.

답: 30 cm

검토

반지름의 합( $30\text{ cm}$ )은 둘레 $60\text{ cm}$ 의 정확히 절반인데, 둘레가 모든 반지름을 두 번씩 세기 때문에 맞습니다. 단위는 cm로 유지되고, $30$ 은 경계인 $60\text{ cm}$ 에 비해 적절한 크기입니다.

추측하고 확인하기(도구 6): 합이 $30$ 이 되는 네 반지름, 예를 들어 $6, 8, 7, 9$ 를 고르면 네 변 $14, 15, 16, 15$ 의 합이 $60$ 이 되어 규칙이 확인됩니다.

기준 · 최소 학년 3

3.G.A.1 Understand that shapes in different categories share attributes — 중심을 이은 사각형의 각 변을 맞닿은 두 원의 반지름의 합으로 인식하는 데 활용
3.OA.D.9 Identify arithmetic patterns and explain using properties of operations — 모든 변을 더할 때 각 반지름이 두 번씩 세어져 둘레가 반지름 합의 2배임을 알아보는 데 활용
3.OA.A.2 Interpret whole-number quotients of whole numbers — 둘레를 2로 나누어 반지름의 합을 되찾는 데 활용

💡 3학년 사고만 있으면 충분해요. 반지름마다 두 번씩 세어지니까 둘레를 반으로 나누기만 하면 돼요!