겹쳐진 원의 중심을 지나는 선분의 길이는 반지름의 몇 배다.

3.OA.C.73.G.A.1 · adapt · 학년 3

아키타입: Radius and Diameter Relationships · 11단계 진행 중

오른쪽 그림은 반지름이 $5\ \text{cm}$ 인 원 $21$ 개를 다른 원의 중심을 지나도록 그린 것입니다. 선분 ㄱㄴ은 몇 cm입니까?

풀이 보기

이해

반지름이 5 cm로 모두 같은 원 21개가 한 줄로 놓여 있고, 각 원은 바로 옆 원의 중심을 지납니다. 모든 중심은 한 직선 위에 있으며, 선분 ㄱㄴ은 가장 왼쪽 원의 바깥 끝점 ㄱ에서 가장 오른쪽 원의 바깥 끝점 ㄴ까지의 길이입니다. 선분 ㄱㄴ의 길이를 구합니다.

주어진 것

크기가 같은 원이 21개 있습니다.
각 원의 반지름은 5 cm입니다.
각 원은 이웃한 원의 중심을 지나므로, 이웃한 두 중심 사이의 거리는 반지름인 5 cm입니다.
모든 중심은 한 직선 위에 있고, ㄱ은 첫 번째 원의 왼쪽 끝, ㄴ은 마지막 원의 오른쪽 끝입니다.

구할 것

선분 ㄱㄴ의 길이(cm).

조건

각 원이 다음 원의 중심을 지나므로, 이웃한 두 중심 사이의 거리는 반지름 한 개(5 cm)와 같습니다.
ㄱ에서 첫 번째 중심까지가 반지름 한 개, 마지막 중심에서 ㄴ까지가 반지름 한 개입니다.

계획

#1 그림 그리기 · 함께 쓰는 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기#5 패턴 찾기

중심들이 놓인 직선을 그리고 똑같은 칸들을 표시합니다. 원을 2개, 3개로 줄여서 먼저 해 보면 선분 ㄱㄴ이 똑같은 5 cm 조각들로 이루어진다는 규칙이 보입니다. 그 조각의 개수를 세어 곱하면 전체 길이를 구할 수 있습니다.

실행

#1 그림 그리기 3.G.A.1

선분 ㄱㄴ을 왼쪽에서 오른쪽으로 따라가 봅니다. ㄱ에서 첫 번째 중심까지가 반지름 한 개(5 cm)입니다. 한 중심에서 다음 중심으로 건너뛸 때마다도 반지름 한 개인데, 각 원이 다음 원의 중심을 지나기 때문입니다. 마지막으로 마지막 중심에서 ㄴ까지가 반지름 한 개입니다.

\text{ㄱ} \to C_1 = 5,\quad C_1 \to C_2 = 5,\quad \dots,\quad C_{21} \to \text{ㄴ} = 5

원의 중심에서 바깥까지의 거리는 반지름이므로, 선분 ㄱㄴ의 모든 조각은 똑같이 5 cm입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.A.3

먼저 더 작은 경우로 줄여 봅니다. 원이 2개이면 ㄱ→중심1, 중심1→중심2, 중심2→ㄴ으로 조각이 3개 = (2 + 1)개입니다. 원이 3개이면 조각이 4개 = (3 + 1)개입니다. 따라서 원이 21개이면 21 + 1 = 22개의 똑같은 5 cm 조각이 생깁니다.

\text{조각 수} = 21 + 1 = 22

양 끝에 반지름을 하나씩 더하기 때문에, 중심 사이를 건너뛰는 횟수보다 칸이 항상 하나 더 많습니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.C.7

똑같은 조각이 22개이고 각 조각이 5 cm이므로 곱합니다.

22 \times 5 = 110

똑같은 길이가 여러 개 이어지면 곱셈으로 전체를 구할 수 있고, 이는 100 안의 3학년 곱셈입니다.

답: 110 cm

검토

답의 단위는 길이에 맞는 cm입니다. 5 cm짜리 조각 22개는 100과 120 사이에 있고, 22 × 5 = 110 cm는 지름이 10 cm인 원 21개가 많이 겹쳐 놓인 줄에 알맞은 길이입니다.

먼저 중심들이 차지하는 길이를 구합니다. 중심이 21개이면 사이 간격은 20개이고 20 × 5 = 100 cm입니다. 여기에 양 끝 반지름 두 개(5 + 5 = 10 cm)를 더해 바깥 끝까지 늘이면 100 + 10 = 110 cm입니다(작은 문제로 쪼개기, 7번 도구).

기준 · 최소 학년 3

3.G.A.1 Understand that shapes in different categories share attributes — 원의 중심에서 바깥까지의 거리가 반지름임을 알아 각 칸이 5 cm임을 파악하기.
3.OA.A.3 Solve multiplication and division word problems within 100 — 원 21개가 선분 ㄱㄴ을 따라 똑같은 조각 22개를 만든다는 것을 세기.
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 — 22 × 5 = 110 계산하기.

💡 칸 하나가 모두 반지름 한 개이니, 칸의 개수만 세어 곱하면 끝 -- 이미 아는 3학년 곱셈이에요!