도형의 둘레는 그 도형 모양의 변으로 알 수 있다.

3.MD.D.84.MD.A.33.OA.A.3 · adapt · 학년 4

아키타입: Perimeter by Tracing Every Side · 11단계 진행 중

직각을 이루는 두 변의 길이가 각각 $3\text{ cm}$ 인 직각삼각형이 있습니다. 이 직각삼각형을 옆으로 이어 붙여 둘레가 $30\text{ cm}$ 인 직사각형을 만들려면 직각삼각형은 몇 개 필요합니까?

(그림) 직각삼각형으로, 직각을 이루는 두 변(밑변과 높이)의 길이가 각각 $3\text{ cm}$ 로 표시되어 있습니다.

풀이 보기

이해

직각을 이루는 두 변의 길이가 각각 3 cm인 직각삼각형이 있습니다. 이 삼각형을 여러 개 옆으로 이어 붙여 둘레가 30 cm인 직사각형을 만들려고 합니다. 이때 직각삼각형이 몇 개 필요한지 구하는 문제입니다.

주어진 것

각 직각삼각형은 직각을 이루는 두 변의 길이가 각각 3 cm입니다.
이런 직각삼각형 두 개를 빗변끼리 맞붙이면 한 변이 3 cm인 정사각형이 됩니다.
완성된 직사각형의 둘레는 30 cm여야 합니다.
삼각형들은 한 줄로 옆으로 나란히 이어 붙입니다.

구할 것

직사각형을 만드는 데 필요한 직각삼각형의 개수.

조건

직사각형은 오직 이 삼각형들만으로 만들어지며, 빈틈이나 겹침이 없습니다.
기본이 되는 정사각형의 한 변이 3 cm이므로, 길이는 3 cm의 배수로만 나타납니다.

계획

#1 그림 그리기 · 함께 쓰는 도구: #7 작은 문제로 쪼개기#6 추측하고 확인하기

삼각형을 직접 그려 보면 두 개가 모여 한 변 3 cm인 정사각형이 된다는 것이 한눈에 보이고, 모양 문제가 깔끔한 타일 붙이기 문제로 바뀝니다. 그런 다음 과제를 작은 문제로 쪼개어(정사각형 만들기, 정사각형을 한 줄로 늘어놓기, 둘레 맞추기) 어떤 길이일 때 둘레가 30 cm가 되는지 확인합니다.

실행

#1 그림 그리기 3.G.A.1

직각삼각형 두 개를 빗변(비스듬한 변)끼리 맞붙입니다. 직각을 이루는 두 변이 모두 3 cm이므로, 두 삼각형이 딱 맞아 가로 3 cm, 세로 3 cm인 정사각형이 됩니다.

2 \text{개의 삼각형} = 1 \text{개의 정사각형 } (3\text{ cm} \times 3\text{ cm})

3학년 도형 감각: 똑같은 직각삼각형 두 개를 긴 변끼리 맞대면 정사각형이 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3

3 cm짜리 정사각형들을 한 줄로 옆에 나란히 이어 붙입니다. 정사각형이 n개라면 직사각형은 세로가 3 cm이고 가로가 3에 n을 곱한 길이가 됩니다.

\text{가로} = 3 \times n, \quad \text{세로} = 3

3학년 곱셈: 똑같은 3 cm 정사각형을 끝까지 이어 붙이면 가로 길이가 정사각형 개수만큼 곱해집니다.

#6 추측하고 확인하기 3.MD.D.8

직사각형의 둘레는 가로의 두 배와 세로의 두 배를 더한 값입니다. 이를 30 cm와 같다고 놓고 n을 구합니다. 2 × (3n + 3) = 30이므로 3n + 3 = 15, 3n = 12, 따라서 n = 4입니다. 그러면 가로 12 cm, 세로 3 cm인 직사각형이 됩니다.

2\,(3n + 3) = 30 \;\Rightarrow\; 3n + 3 = 15 \;\Rightarrow\; n = 4

3학년 둘레 감각: 둘레를 따라 한 바퀴 돈 길이가 30 cm가 될 때까지 가로 길이를 바꿔 가며 확인합니다. 정사각형 4개면 가로 12 cm, 세로 3 cm 직사각형(둘레 30 cm)이 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3

정사각형 4개는 각각 삼각형 2개로 만들어지므로, 직사각형에는 4 × 2 = 8개의 삼각형이 필요합니다.

4 \times 2 = 8

3학년 곱셈: 정사각형 4개, 각 정사각형마다 삼각형 2개이므로 삼각형은 8개입니다.

답: 8 triangles

검토

직사각형은 가로 12 cm, 세로 3 cm이고, 둘레는 12 + 3 + 12 + 3 = 30 cm로 조건과 정확히 일치합니다. 직각을 이루는 두 변이 3 cm인 직각삼각형 8개의 넓이는 8 × (3 × 3 ÷ 2) = 36 제곱 cm이고, 이는 가로 12 cm, 세로 3 cm 직사각형의 넓이 36 제곱 cm와 같으므로 삼각형들이 빈틈없이 직사각형을 채웁니다.

추측하고 확인하는 대신 곧바로 추론할 수도 있습니다. 세로가 3 cm인 한 줄짜리 직사각형 중 둘레가 30 cm가 되려면 가로는 반드시 12 cm여야 하고, 이는 정사각형 4개, 따라서 삼각형 8개에 해당합니다.

기준 · 최소 학년 3

3.G.A.1 Understand that shapes in different categories share attributes — 합동인 직각삼각형 두 개가 정사각형을 이룬다는 것을 알아보는 데 사용.
3.OA.A.3 Solve multiplication and division word problems within 100 — 정사각형마다 삼각형 2개를 곱하고 가로 길이를 정사각형 개수만큼 늘리는 데 사용.
3.MD.D.8 Solve real-world problems involving perimeters of polygons — 직사각형의 둘레를 30 cm와 같다고 놓고 가로 길이를 구하는 데 사용.

💡 똑같은 삼각형 두 개가 모이면 작은 정사각형 하나가 되니까, 직사각형을 찾았으면 정사각형 개수를 두 배 하기만 하면 삼각형 개수를 셀 수 있어요!