입체를 위, 앞, 옆, 아래에서 보면 평면이다.

3.MD.D.8K.G.A.34.MD.A.3 · adapt · 학년 4

아키타입: Tile and Cut Figures with Congruent Pieces · 5단계 진행 중

왼쪽 쌓기나무를 $11$ 개 사용하여 오른쪽과 같이 쌓았을 때, 바닥에 닿는 부분의 둘레는 몇 $\text{cm}$ 입니까?

그림 설명: 왼쪽에는 한 모서리의 길이가 $1\,\text{cm}$ 인 정육면체 모양의 쌓기나무 한 개가 그려져 있다. 오른쪽에는 이 쌓기나무 $11$ 개를 빈틈없이 붙여 쌓은 입체도형이 그려져 있다. 쌓기나무들은 바닥에 닿는 칸들이 계단처럼 어긋나게 이어져 있고, 일부 칸 위에는 쌓기나무가 한 단 더 올라가 있다. 바닥에 닿는 부분은 한 변이 $1\,\text{cm}$ 인 정사각형 칸들이 이어진 평면도형 모양이다.

풀이 보기

이해

한 모서리가 1 cm인 쌓기나무 11개로 입체도형을 쌓았다. 그림을 보고 어떤 칸이 바닥에 닿는지 알아낸 뒤, 그 평평한 바닥 모양 도형의 둘레를 구한다.

주어진 것

쌓기나무 한 개의 한 모서리 길이는 1 cm이다.
입체도형은 쌓기나무 11개를 빈틈없이 붙여 만든 것이다.
바닥에 닿는 칸들은 계단처럼 어긋나게 이어진 모양이고, 몇몇 칸 위에는 쌓기나무가 한 단 더 올라가 있다.
그림에서 바닥 모양은 ㄴ자(L자) 모양이다: 단위 정사각형 6개가 한 줄로 있고 그 왼쪽 끝 아래에 단위 정사각형 3개가 한 줄로 붙어 있다(바닥 칸은 모두 9개, 위에 2개가 쌓여 있음).

구할 것

입체도형이 바닥에 닿는 평면도형의 둘레(cm).

조건

바닥에 놓인 쌓기나무만 바닥 모양에 들어가고, 위에 쌓인 쌓기나무는 더하지 않는다.
바닥 모양의 각 정사각형 칸의 한 변은 1 cm이다.

계획

#17 공간 상상하기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기#7 작은 문제로 쪼개기

먼저 입체도형을 아래에서 바라보듯 머릿속으로 떠올려 어떤 칸이 바닥에 닿는지 정확히 본다(공간 상상하기). 그 바닥 모양을 종이에 평면으로 다시 그린 뒤, 둘레를 바깥쪽 곧은 변들로 쪼개어 각 1 cm 길이를 더한다. 위에 쌓인 쌓기나무는 바닥 위에 떠 있으므로 무시한다.

실행

#17 공간 상상하기 K.G.A.3

입체도형을 아래에서 보면 쌓기나무 11개 중 9개가 바닥에 닿고 2개는 바닥 칸 위에 쌓여 있다. 바닥 칸 9개는 ㄴ자 모양을 이룬다: 위쪽 줄에 단위 정사각형 6개, 그 왼쪽 3칸 아래에 아래쪽 줄로 단위 정사각형 3개.

9 + 2 = 11

평평한 바닥 모양(평면)과 위에 쌓인 쌓기나무(입체)를 구별하는 것이 평면도형과 입체도형을 알아보는 유치원 개념이다.

#1 그림 그리기 3.MD.D.8

ㄴ자 모양을 모눈종이에 그리면 가로 6 cm, 세로 2 cm 직사각형 안에 들어가고, 오른쪽 아래에서 가로 3 cm, 세로 1 cm만큼이 비어 있다. 단위 정사각형의 각 변은 1 cm이다.

6 \times 2 = 12 \text{칸이 상자에 들어가고, } 12 - 3 = 9 \text{칸이 채워짐}

평면 윤곽을 그려 보면 입체 문제가 간단한 다각형 둘레 문제(3학년 수준)로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3

ㄴ자 모양의 둘레를 따라 1 cm 변을 센다: 위쪽으로 6, 오른쪽으로 내려가며 1, 계단을 따라 왼쪽으로 3, 아래로 1, 바닥을 따라 왼쪽으로 3, 왼쪽 변을 따라 위로 2. 이를 모두 더하면 둘레가 된다.

6 + 1 + 3 + 1 + 3 + 2 = 16

직사각형 두 개로 된 ㄴ자에서는 계단 부분의 길이가 서로 맞물려, 둘레가 가로 6, 세로 2 직사각형의 둘레와 같아진다: 2 × (6 + 2) = 16.

답: 16 cm

검토

바닥 모양은 가로 6 cm, 세로 2 cm 상자에 들어가고 그 둘레는 2 × (6 + 2) = 16 cm이다. 이 상자에서 파낸 ㄴ자 모양도 파인 변들이 안으로 접혀 들어가 길이가 더해지지 않으므로 둘레가 같다. 16 cm는 1 cm 단위 정사각형으로 만든 도형에 맞는 정수 cm 값이다.

단위 변을 직접 세기(도구 2): 9개의 칸을 하나씩 나열하고 이웃 칸과 맞닿지 않은 변마다 표시한다. 이렇게 드러난 1 cm 변을 세면 16이 되어 같은 답이 나온다.

기준 · 최소 학년 4

K.G.A.3 Identify shapes as two-dimensional or three-dimensional — 평평한 바닥 모양(평면)과 위에 쌓인 쌓기나무(입체)를 구별하는 데 사용.
3.MD.D.8 Solve real-world problems involving perimeters of polygons — ㄴ자 모양 다각형의 둘레를 세우고 구하는 데 사용.
4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems — 둘러싸는 직사각형의 둘레 2 × (6 + 2)를 이용해 16 cm를 계산하고 확인하는 데 사용.

💡 입체도형을 아래에서 바라보고, 그것이 놓인 평평한 모양을 그린 뒤 바깥 변을 더해 보세요. ㄴ자 모양의 둘레는 그것을 둘러싼 직사각형의 둘레와 같아요!