두 변의 길이가 같고, 두 변과 마주 하는 두 각의 크기가 같다.

4.G.A.24.MD.C.7 · adapt · 학년 4

아키타입: Isosceles and Equilateral Angle Chaining · 6단계 진행 중

정사각형 ㄱㄴㄷㅂ과 직사각형 ㅂㄷㄹㅁ을 겹치지 않게 이어 붙였습니다. 직사각형 ㅂㄷㄹㅁ의 한 대각선이 $32 \text{ cm}$ 일 때 정사각형 ㄱㄴㄷㅂ의 둘레를 구하시오.

풀이 보기

이해

정사각형 ㄱㄴㄷㅂ과 직사각형 ㅂㄷㄹㅁ을 공통 변 ㅂㄷ을 맞대어 겹치지 않게 나란히 이어 붙였습니다. 직사각형의 두 대각선을 그리면 점 ㅅ에서 만나고, 점 ㅅ에서 위쪽으로 벌어지는 각이 120도이며 직사각형의 한 대각선은 32 cm입니다. 정사각형의 둘레를 구해야 합니다.

주어진 것

왼쪽에 정사각형 ㄱㄴㄷㅂ, 오른쪽에 직사각형 ㅂㄷㄹㅁ이 있으며 변 ㅂㄷ을 함께 씁니다.
직사각형 ㅂㄷㄹㅁ의 두 대각선이 모두 그려져 점 ㅅ에서 만납니다.
직사각형의 한 대각선의 길이는 32 cm입니다.
점 ㅅ에서 위쪽으로 벌어지는 각(각 ㅂㅅㅁ)이 120도입니다.

구할 것

정사각형 ㄱㄴㄷㅂ의 둘레.

조건

직사각형의 두 대각선은 길이가 같고 서로를 이등분하므로, 점 ㅅ에서 각 꼭짓점까지의 네 조각은 모두 길이가 같습니다.
변 ㅂㄷ은 직사각형의 왼쪽 변이면서 동시에 정사각형의 한 변이므로, 정사각형의 한 변의 길이는 ㅂㄷ과 같습니다.

계획

#7 작은 문제로 쪼개기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기#6 추측하고 확인하기

작업을 나눕니다. 먼저 직사각형 대각선의 성질로 ㅂㅅ과 ㄷㅅ의 길이와 삼각형 ㅂㅅㄷ 안의 각을 구하고, 삼각형 ㅂㅅㄷ이 특별한 삼각형임을 알아내어 ㅂㄷ을 구한 뒤, 4를 곱해 정사각형의 둘레를 구합니다.

실행

#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2

직사각형의 두 대각선은 길이가 같고 만나는 점에서 서로를 절반으로 나눕니다. 각 대각선이 32 cm이므로, 점 ㅅ에서 꼭짓점까지의 한 조각은 그 절반인 ㅂㅅ = ㄷㅅ = 16 cm입니다.

32 \div 2 = 16 \text{ cm}

직사각형의 대각선은 서로 같고 서로를 이등분하므로, 네 개의 절반 조각이 모두 같은 16 cm입니다.

#1 그림 그리기 4.MD.C.7

두 대각선이 만나는 곳에서는 마주 보는 각끼리 짝을 이루고, 이웃한 두 각의 합은 180도입니다. 위쪽 각 ㅂㅅㅁ이 120도이므로, 변 ㅂㄷ 쪽에 놓인 각 ㅂㅅㄷ은 180 - 120 = 60도입니다.

180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

교차점 둘레의 각들이 직선을 채우므로, 120도의 이웃 각은 60도입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2

삼각형 ㅂㅅㄷ은 ㅂㅅ = ㄷㅅ = 16 cm이므로 이등변삼각형이고, 두 밑각의 크기가 같습니다. 꼭지각 ㅂㅅㄷ이 60도이므로 남은 180 - 60 = 120도를 둘로 똑같이 나누어 밑각은 각각 60도입니다. 세 각이 모두 60도이므로 정삼각형이고, 따라서 ㅂㄷ = ㅂㅅ = ㄷㅅ = 16 cm입니다.

(180^\circ - 60^\circ) \div 2 = 60^\circ \Rightarrow \overline{\text{ㅂㄷ}} = 16 \text{ cm}

꼭지각이 60도인 이등변삼각형은 세 각이 모두 60도가 되어 모든 변이 같아지므로, ㅂㄷ은 16 cm짜리 절반 대각선과 같습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3

정사각형 ㄱㄴㄷㅂ의 한 변 ㅂㄷ은 16 cm이고, 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같으므로 둘레는 4 x 16 = 64 cm입니다.

4 \times 16 = 64 \text{ cm}

정사각형의 둘레는 같은 길이의 네 변을 더한 것이므로, 한 변의 4배입니다.

답: 64 cm

검토

ㅂㄷ = 16 cm는 32 cm 대각선의 정확히 절반이라 믿을 만하고, 정사각형 둘레 64 cm = 4 x 16은 크기와 단위(센티미터)가 알맞습니다. 정삼각형이 120도 표시가 강제하는 60도 각과도 잘 들어맞습니다.

추측하고 확인하기(도구 6)를 쓸 수 있습니다. 변이 16 cm보다 길면 점 ㅅ에서 ㅂㄷ을 마주 보는 각이 60도를 넘고 그 위쪽 이웃 각은 120도보다 작아집니다. 오직 ㅂㄷ = 16 cm일 때만 주어진 120도가 나오므로 답이 확인됩니다.

기준 · 최소 학년 4

4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines — 직사각형과 정사각형의 성질(대각선이 같고, 이등분된 절반이 같으며, 변이 같음)을 이용하고 정삼각형을 알아내는 데 사용했습니다.
4.MD.C.7 Recognize angle measure as additive and solve addition and subtraction problems — 120도 표시에서 각 ㅂㅅㄷ = 60도를 구하고, 삼각형의 남은 각을 둘로 나누는 데 사용했습니다.
4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems — 정사각형의 둘레를 한 변의 4배로 구하는 데 사용했습니다.

💡 16과 16인 이등변삼각형의 꼭지각이 60도면 정삼각형이 되어 나머지 변도 16이 돼요 — 4학년 각 감각만으로 풀 수 있어요!