센심 수학 · 심화 EN

4-2 · 삼각형

한 원의 반지름을 두 변으로 하는 삼각형은 이등변삼각형이다

4.MD.C.74.G.A.2 · take · 학년 4

아키타입: Isosceles and Equilateral Angle Chaining · 6단계 진행 중

다음 그림에서 ㉠의 크기를 구하시오. (단, 점 ㅇ은 원의 중심입니다.)

figure
풀이 보기

이해

점 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 중심이 ㅇ인 원 위에 있습니다. 반지름 ㅇㄱ, ㅇㄴ, ㅇㄷ과 현을 그었고, 점 ㄴ에서 각 ㄱㄴㅇ = 15도, 각 ㅇㄴㄷ = 30도입니다. 점 ㄱ에서의 각 ㉠(각 ㅇㄱㄷ)의 크기를 구하는 문제입니다.

주어진 것
  • ㅇ이 중심이므로 ㅇㄱ, ㅇㄴ, ㅇㄷ은 모두 길이가 같은 반지름입니다.
  • 각 ㄱㄴㅇ = 15도입니다.
  • 각 ㅇㄴㄷ = 30도입니다.
  • ㉠ = 각 ㅇㄱㄷ입니다.
구할 것
  • ㉠(= 각 ㅇㄱㄷ)의 크기.
조건
  • 한 원의 반지름은 모두 같으므로, 반지름 두 개로 된 삼각형은 이등변삼각형입니다.
  • 이등변삼각형은 두 밑각이 같습니다.
  • 삼각형의 세 각의 합은 180도입니다.

계획

#7 작은 문제로 쪼개기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기#13 대수로 바꾸기

반지름이 도형을 세 개의 이등변삼각형으로 나누므로 각각을 작은 문제로 다룹니다. 같은 밑각을 이용해 큰 삼각형 ㄱㄴㄷ의 각들을 ㉠으로 나타낸 뒤, 그 합을 180도로 놓고 ㉠을 구합니다.

실행

#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2
ㅇㄱ과 ㅇㄴ은 모두 반지름이므로 ㅇㄱ = ㅇㄴ이고 삼각형 ㅇㄱㄴ은 이등변삼각형입니다. 두 밑각이 같으므로 각 ㅇㄱㄴ = 각 ㄱㄴㅇ = 15도입니다.
∠ㅇㄱㄴ=∠ㄱㄴㅇ=15∘\angle ㅇㄱㄴ = \angle ㄱㄴㅇ = 15^\circ
반지름 두 개는 길이가 같으므로 그것으로 만든 삼각형은 밑각이 같은 이등변삼각형입니다.
#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2
ㅇㄴ과 ㅇㄷ은 반지름이므로 ㅇㄴ = ㅇㄷ이고 삼각형 ㅇㄴㄷ은 이등변삼각형입니다. 두 밑각이 같으므로 각 ㅇㄷㄴ = 각 ㅇㄴㄷ = 30도입니다.
∠ㅇㄷㄴ=∠ㅇㄴㄷ=30∘\angle ㅇㄷㄴ = \angle ㅇㄴㄷ = 30^\circ
같은 반지름이라는 같은 생각으로 두 번째 삼각형도 이등변삼각형이 됩니다.
#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2
ㅇㄱ과 ㅇㄷ은 반지름이므로 ㅇㄱ = ㅇㄷ이고 삼각형 ㅇㄱㄷ은 이등변삼각형입니다. 두 밑각이 같으므로 각 ㅇㄷㄱ = 각 ㅇㄱㄷ = ㉠입니다.
∠ㅇㄷㄱ=∠ㅇㄱㄷ=㉠\angle ㅇㄷㄱ = \angle ㅇㄱㄷ = ㉠
세 번째 반지름 짝이 이등변삼각형을 하나 더 만들어 같은 두 각을 만드는데, 둘 다 ㉠입니다.
#13 대수로 바꾸기 4.MD.C.7
큰 삼각형 ㄱㄴㄷ에서 점 ㄴ의 각 = 15 + 30 = 45도, 점 ㄱ의 각 = 각 ㄴㄱㅇ + 각 ㅇㄱㄷ = 15 + ㉠, 점 ㄷ의 각 = 각 ㄴㄷㅇ + 각 ㅇㄷㄱ = 30 + ㉠입니다. 세 각의 합이 180도이므로 45 + (15 + ㉠) + (30 + ㉠) = 180, 곧 90 + 2㉠ = 180이 되어 2㉠ = 90, ㉠ = 45도입니다.
45∘+(15∘+㉠)+(30∘+㉠)=180∘⇒2㉠=90∘⇒㉠=45∘45^\circ + (15^\circ + ㉠) + (30^\circ + ㉠) = 180^\circ \Rightarrow 2㉠ = 90^\circ \Rightarrow ㉠ = 45^\circ
큰 삼각형의 각을 아는 부분 더하기 ㉠으로 나타낸 뒤 180도 합을 쓰면 ㉠이 정해집니다.
답: 45 degrees

검토

㉠ = 45도일 때 삼각형 ㄱㄴㄷ의 각은 점 ㄴ에서 45도, 점 ㄱ에서 60도(15+45), 점 ㄷ에서 75도(30+45)로 합이 180도가 됩니다. ㉠ = 45는 원 위 꼭짓점의 각으로 알맞은 중간 크기라 그럴듯합니다.

중심각의 관점(도구 15)을 써서 각 이등변삼각형의 ㅇ에서의 꼭대기 각을 구해 더해 전체 중심각을 만든 뒤, 그것을 ㉠과 연결해 정리된 방식으로 다시 확인할 수도 있습니다.

기준 · 최소 학년 4

  • 4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines — 반지름 두 개가 밑각이 같은 이등변삼각형을 만든다는 것 알아보기.
  • 4.MD.C.7 Recognize angle measure as additive and solve addition and subtraction problems — 부분 각들을 더하고 삼각형 세 각의 합을 이용해 ㉠ 구하기.
💡 이미 배운 4학년 각 더하기와 같은 반지름 두 개가 이등변삼각형을 만든다는 사실만 있으면 풀 수 있어요!