두 점 사이의 거리가 같아야 길이가 같은 변을 만들 수 있다

4.G.A.2 · take · 학년 4

아키타입: Isosceles and Equilateral Angle Chaining · 6단계 진행 중

다음 그림은 $9$ 개의 점을 정사각형 모양으로 놓은 것입니다. 이 점들을 꼭짓점으로 하여 만들 수 있는 이등변삼각형은 모두 몇 개인지 구하시오.

풀이 보기

이해

가로 3개, 세로 3개로 고르게 놓인 9개의 점(점판) 위에서, 세 꼭짓점이 모두 점인 이등변삼각형이 모두 몇 개인지 세는 문제입니다.

주어진 것

9개의 점이 3행 3열로 놓여 있습니다.
가로로 이웃한 점 사이의 간격과 세로로 이웃한 점 사이의 간격이 모두 같습니다.
삼각형의 꼭짓점은 이 점들 중에서 골라야 합니다.

구할 것

만들 수 있는 이등변삼각형의 전체 개수.

조건

이등변삼각형은 길이가 같은 변이 적어도 두 개 있어야 합니다.
고른 세 점이 한 직선 위에 있으면 삼각형이 되지 않으므로 제외합니다.

계획

#2 빠짐없이 나열하기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기#16 관점 바꾸기

작은 점판에서 '모두 몇 개'를 세는 문제이므로 경우를 빠짐없이 나열합니다. 점판을 그리면 격자 칸 수를 세어 변의 길이를 비교할 수 있고, 길이가 같은 두 변이 만나는 꼭짓점(꼭대기)을 기준으로 묶으면 목록이 정리되어 중복으로 세는 일을 막을 수 있습니다.

실행

#1 그림 그리기 4.G.A.1

점들을 (0,0)부터 (2,2)까지 좌표로 나타냅니다. 두 선분은 가로·세로로 움직인 칸 수가 같으면 길이가 같으므로, 자를 대지 않고 칸 수만 세어 변의 길이를 비교할 수 있습니다.

\text{점 } (x,y),\ x,y \in \{0,1,2\}

4학년 학생은 점을 좌표에 나타내고, 격자 칸 수가 같은지를 세어 선분의 길이를 비교할 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.2

네 모서리 점마다, 그 점에서 만나면서 길이가 같은 두 선분이 삼각형을 이루는 경우를 찾습니다. 꼭대기별로 차근차근 적으면 네 모서리에서 많은 이등변삼각형이 나옵니다(예: 길이가 1이나 2인 두 변으로 된 직각이등변삼각형, 길이가 같은 기울어진 선분을 쓰는 것 등).

꼭대기 점을 기준으로 정리하면 경우를 빠뜨리거나 두 번 세지 않고 깔끔하게 나열할 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.2

변의 가운데에 있는 점 4개와 한가운데 점 1개에 대해서도 같은 방식으로 꼭대기별로 찾습니다. 그 점에서 만나면서 길이가 같은 두 선분이 삼각형을 이루는 경우를 짝지어 셉니다.

길이가 같은 변을 찾는 같은 생각을 모든 점에 차례로 적용하면 빠짐없이 셀 수 있습니다.

#16 관점 바꾸기 4.G.A.2

꼭대기별로 묶은 것을 모두 합치고, 두 꼭대기에서 동시에 세어진 삼각형(정삼각형만 그럴 수 있는데 정사각형 격자에는 정삼각형이 없습니다)을 빼면, 빠짐없이 나열한 결과 이등변삼각형은 모두 36개입니다. 참고로 이 점판에서 만들 수 있는 삼각형은 모두 76개이고, 그중 정확히 36개가 이등변삼각형입니다.

\text{이등변삼각형 합계} = 36

이 격자에는 정삼각형이 없으므로 두 번 세어지는 삼각형이 하나도 없어, 꼭대기별 개수를 그냥 더하면 됩니다.

답: 36 isosceles triangles

검토

3x3 점판에서 만들 수 있는 삼각형은 모두 76개입니다(세 점을 고르는 84가지에서 한 직선 위의 세 점 8가지를 뺀 값). 그중 이등변삼각형이 36개로 절반에 조금 못 미치는 것은 그럴듯합니다. 격자 삼각형에는 부등변삼각형이 많지만, 대칭인 점판에서는 길이가 같은 변의 짝이 많이 생기기 때문입니다.

꼭대기별로 나열하는 대신(도구 2), 더 쉬운 문제(도구 9)로 2x2 점판의 이등변삼각형을 먼저 세어 길이가 같은 변의 짝이 생기는 규칙을 파악한 뒤, 그 생각을 3x3으로 키워서 적용할 수도 있습니다.

기준 · 최소 학년 4

4.G.A.1 Draw points, lines, line segments, rays, angles, and identify in figures — 9개의 점을 좌표에 나타내고 격자 칸 수를 세어 선분의 길이를 비교하기.
4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines — 어떤 세 점이 이등변삼각형을 이루는지 알아보고 분류하기.

💡 이미 배운 4학년 좌표 찍기와 빠짐없이 정리해 세는 방법만 있으면 풀 수 있어요!